nnss1954: Math & Music: two languages as one

La música es matemática pura.

Modelos matemáticos para las señales musicales

En general, la onda de presión sonora se puede representar por una función

donde t es el parámetro tiempo.

En el caso particular de una tonalidad pura, podríamos escribir

donde A y x son parámteros físicos que determinan el diseño de la tonalidad, denominados, respectivamente, amplitud y frecuencia de la onda sonora.

Sin embargo, la música no está totalmente representada por sucesiones de tonalidades puras, ni siquiera por combinaciones lineales de las mismas. Por ejemplo, el modelo del sonido de una campana musical se puede establecer mediante

donde N, A_k, t_k y x_k, k=1,2,...,N, son parámetros de diseño convenientemente elegidos.

El músico John Chowing, en los primeros años de la década de los 70, sintetizó señales musicales experimentando con funciones de la forma

Además, es necesario añadir componentes estocásticas para disponer de un modelo de ruido, siempre presente en cualquier clase de audición. Finalmente, no se debe olvidar el papel de las funciones fractales en el generación de sonidos: por ejemplo, el movimiento browniano generalizado.

Jean Claude Risset, músico francés experto en síntesis de sonidos, es el autor de un efecto sonoro, un glissando interminable, construido como una función periódica que reproduce un acorde de ocho notas con frecuencia local estrictamente creciente.

La señal

con a=(log(1.5)/8), b=1/256, f=784 Hz, para -32 £ t £ 32 s, genera un sonido con una frecuencia que crece desde 155 Hz, casi inaudible por baja frecuencia hasta 3964 Hz, con la misma propiedad, pero por alta. A partir de s, se construye g por periodización:

Puesto que las traslaciones de s no son audibles durante más de 64 s, resulta un acorde con ocho notas, que produce la sensación de escuchar frecuencias indefinidamente crecientes

Esto es un simple plagio, si no digo que lo saqué de aquí:

http://campus-llamaquique.uniovi.es/virtual/docencia/musica/modelos/modelos.htm

Si les parece muy teórico, en el siguiente se muestran los valores correspondientes a las frecuencias.

El próximo paso es meterle a la composición musical y tratar de ser original.

Tomado de: http://www.musicaperuana.com/espanol/mm.htm

La Música y las Matemáticas

Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico - una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o frecuencia. Imaginémonos una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuanto más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o "alta" será la nota musical resultante. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las cuales denominaremos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes "octavas", sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas.
Se puede definir un etalón, o sea, una nota estándard, de la cual podemos derivar todas las otras notas. La distancia musical que separa alguna nota de la del etalón, la denominaremos escala (pitch en inglés). El oído humano es un "instrumento" muy sensible, y en ciertas condiciones es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 Hz hasta 20,000 Hz, aúnque el diapasón musical es significativamente menor - hasta unos 4,500 Hz. Los sonidos más agudos, aunque son audibles, se escuchan como ruidos, silbatos o timbres brillantes de los sonidos musicales. Dentro de ese diapasón, el oído puede distinguir los sonidos cuyas frecuencias difieren en un solo Hertz. Podríamos suponer que la música debería contar con unas 4,000 notas... Pero en realidad, las 88 teclas del piano es casi todo lo que tenemos.
El siguiente esquema muestra un fragmento del teclado de piano, a cada tecla le corresponde una nota musical. La última columna indica la frecuencia correspondiente (en Hertz):

En este esquema se puede ver que las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras), y estos grupos se repiten de izquierda a derecha. Cada octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical entre esas teclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1 - esto es, la frecuencia de la misma nota de siguiente octava es el doble, y la de octava anterior es la mitad. La distancia de dos octavas le corresponde a la relación de frecuencias de 4:1, tres octavas - 8:1 etc.: para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias. La nota "La" (o "A") es la nota de etalón - su frecuencia es 440 Hz.

Dentro de cada octava, pareciera que las frecuencias de las notas son esporádicas y no siguen ninguna regla... En realidad existe un sistema bien definido. En adelante trataremos de explicar con más detalle este sistema.

Escala natural

El oído humano tiene una "construcción" tal, que los sonidos cuyas frecuencias están en la proporción simple (2/1, 3/2, 4/3 etc), suenan juntos de una manera agradable. Por otro lado, casi todos los procesos físicos que producen sonidos, además de la frecuencia principal (o el tono básico) producen también "armónicas", es decir, las frecuencias que son dos, tres, cuatro -una cantidad entera- veces más altas. El conjunto de las armónicas constituye el timbre que es único para cada instrumento musical.
Escogeremos como base la frecuencia de 55 Hertz (esta frecuencia es absolutamente arbitraria, la única razón es que nos lleve a la frecuencia 440 Hertz que es un etalón musical contemporáneo) y vamos a multiplicarla por 2, 3, 4, etc. Obtendremos la siguiente serie:
55; 110, 165; 220, 275, 330, 385; 440, 495, 550, 605, 660, 715, 770, 825; 880
Colocaremos estas frecuencias en sus octavas correspondientes, y arreglaremos la serie en forma de una tabla:

Octava 1	55
Octava 2	110				165
Octava 3	220		275		330		385
Octava 4	440	495	550	605	660	715	770	825
Octava 5	880
	A	B	C	D	E	F	G	H

Observamos que la segunda octava tiene dos notas, la tercera - cuatro, y la cuarta - ocho, eso es, ¡una octava completa natural! Ahora vamos a calcular las distancias entre las notas:

440

8:9

495